Question

（2007•靜安區一模）（理） 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，點O為該正方形的中心，側棱PA=PC，PB=PD．
（1）求證：四棱錐P-ABCD是正四棱錐；
（2）設點Q是側棱PD的中點，且PD的長為2a．求異面直線OQ與AB所成角的大小．（用反三角函數表示）

Answer 1

分析：（1）先根據PA=PC，得到PO⊥AC；同理PO⊥BD可得PO⊥平面ABCD； 再結合O是正方形ABCD的中心即可證：四棱錐P-ABCD是正四棱錐；
（2）以O為原點，正方形對角線為x，y軸，求出個對應點的坐標以及對應向量的坐標，再代入由數量積求向量夾角的計算公式即可得到結論．

解答：解：（理）（1）連接PO，因為PA=PC，所以PO⊥AC；       （2分）
同理PO⊥BD；所以PO⊥平面ABCD；                   （4分）
又因為O是正方形ABCD的中心，
所以四棱錐P-ABCD是正四棱錐．（6分）
（2）解：以O為原點，正方形對角線為x，y軸，A(0，-

2

2

a，0)，B(

2

2

a，0，0)，P(0，0，

14

2

a)，

OQ

=(-

2

4

a，0，

14

4

a)，

AB

=(

2

2

a，

2

2

a，0)，（10分）
設

OQ

與

AB

的夾角為θ，則cosθ=-

1

4

．設

OQ

與

AB

的夾角為θ，則cosθ=-

1

4

．
所以異面直線OQ與AB所成角的大小為arccos

1

4

．             （14分）

點評：本題主要考查異面直線及其所成的角以及棱錐的結構特征．正四棱錐的要求是下底面為正方形，頂點在底面內的射影為下底面的中心．