Question

（08年荊州市質檢二理）（13分）  如圖，已知為平面上的兩個定點，為動點，，且，（是和的交點）

⑴建立適當的平面直角坐標系求出點的軌跡方程；

⑵若點的軌跡上存在兩個不同的點，且線段的中垂線與（或的延長線）相交于一點，證明：（為的中點）

 

Answer 1

解析：⑴如圖1，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系

由題設

，而

點是以為焦點、長軸長為的橢圓，故點的軌跡方程為          （6分）

⑵如圖2，設，，且，

即，又在軌跡上，

即

代入整理得：

，                                                  （10分）

≤≤，≤≤，≤≤

，

，即。                                                  （13分）