Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱中，平面側面，且．

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，由已知條件推導出平面，從而得到，由線面垂直得，由此可證明；（2）連接，由（1）可知平面，由已知條件得到即為直線與平面所成的角，即二面角的一個平面角，即可求解二面角的大�。�

試題解析：（1）如圖，取的中點，連接,因為,所以,

由平面側面,且平面側面得平面．

又平面，所以．

因為三棱柱是直三棱柱,則底面．又因為平面,

所以．又，所以側面，

又側面，故．

（2）連接，由（1）可知平面,則是在平面內的射影，

所以即為直線與平面所成的角，

因為直線與平面所成的角的正弦值為,所以,

在等腰直角中，且點是中點，所以．

又,所以．過點作于點，連接,

由（1）知平面,則,且,所以平面,

所以,所以即二面角的一個平面角．且直角中，．又,

所以．又因為二面角為銳二面角,

所以．即銳二面角的大小為．