Question

【題目】已知函數（，是自然對數的底數）

(Ⅰ) 設（其中是的導數），求的極小值；

(Ⅱ) 若對，都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)求出，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間，結合單調性可求得函數的極值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上單調遞增，在(0，1)上單調遞減，.討論當時，當時兩種情況，分別利用對數以及函數的單調性，求出函數最值，從而可篩選出符合題意的實數的取值范圍.

(Ⅰ)，.

令，∴，

∴在上為增函數，.

∵當時，；當時，，

∴的單調遞減區間為(0，1)，單調遞增區間為，

∴.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上單調遞增，在(0，1)上單調遞減，

∴.

當時，，在上單調遞增，，滿足條件；

當時，.

又∵，∴，使得，

此時，，；，，

∴在上單調遞減，，都有，不符合題意.

綜上所述，實數的取值范圍為.