Question

【題目】從數列中抽出一項，依原來的順序組成的新叫數列的一個子列.

（1）寫出數列的一個是等比數列的子列；

（2）若是無窮等比數列，首項，公比且，則數列是否存在一個子列，為無窮等差數列？若存在，寫出該子列的通項公式；若不存在，證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）注意到，所以子數列為；（2）假設能抽出一個子列為無窮等差數列，設為，通項公式為.由于，對分成和兩類進行分類討論，退出矛盾，所以假設不成立，不存在這樣的子列.

試題解析：

（1） .

（2）證明: 假設能抽出一個子列為無窮等差數列，設為，通項公式為.①當時，,且數列是遞減數列，所以也為遞減數列且, 令, 得，即存在，使得，這與矛盾. ②當時，，數列是遞增數列，所以也為遞增數列且為正整數，且，所以存在正整數使得，

令，則，即，但這與矛盾，說明假設不成立.所以數列不存在是無窮等差數列子列.