Question

已知常數a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

，P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：建立坐標系，按題意寫出A，B，C，D四點的坐標，進而根據

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

解出E，F，G三點的坐標 參數表示，求出OF與GE兩條直線的方程，兩者聯立即可求出點P的坐標滿足的參數方程，消去參數，得到點P的軌跡方程．由于參數a的取值范圍影響曲線的形狀故按參數a的范圍來對曲線進行分類．

解答：解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，
據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到定點距離的和為定值．
按題意有A（-2，0），B（2，0），C（2，4a），D（-2，4a）
設

BE

BC

=

CF

CD

=

DG

DA

=k（0≤k≤1），
由此有E（2，4ak），F（2-4k，4a），G（-2，4a-4ak）．
直線OF的方程為：2ax+（2k-1）y=0，①
直線GE的方程為：-a（2k-1）x+y-2a=0． ②
從①，②消去參數k，
得點P（x，y）坐標滿足方程2a²x²+y²-2ay=0，
整理得

x2

1 2

+

(y-a)2

a2

=1．
當a2=

1

2

時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點；
當a2≠

1

2

時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長；
當a2＜

1

2

時，點P到橢圓兩個焦點(-

1 2 -a2

，a)，(

1 2 -a2

，a)的距離之和為定值

2

；
當a2＞

1

2

時，點P到橢圓兩個焦點(0，a-

a2- 1 2

)，(0，a+

a2- 1 2

)的距離之和為定值2a．

點評：考查解析法求點的軌跡方程，本題在做題時引入了參數k，故得到的軌跡方程為參數方程，需要消去參數得到軌跡方程，又當字母的取值范圍對曲線的形狀有影響時，要對其范圍進行討論以確定軌跡的具體性狀．考查分類討論的數學思想．