Question

【題目】已知的圖象關于原點對稱，其中a為常數.

（1）求a的值，并寫出函數f（x）的單調區間（不需要求解過程）；

（2）若關于x的方程在[2，3]上有解，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上是單調增函數；（2）[﹣1，1].

【解析】

（1）根據的圖象關于原點對稱，得到f（x）是奇函數，

則f（x）+f（﹣x）=0，恒成立，即恒成立，化簡為x2（a2﹣1）=0求解.根據a的值，f（x）=log（1），再利用復合函數的單調性確定單調區間.

（2）關于x的方程在[2，3]上有解，即（x+k）在[2，3]上有解，轉化為kx，在[2，3]上有解，再求得g（x）x，x∈[2，3]值域即可.

（1）因為的圖象關于原點對稱，

所以f（x）為奇函數，

所以f（x）+f（﹣x）=0，

即，

所以1﹣a2x2=1-x2，

即x2（a2﹣1）=0，

所以a=﹣1或a=1（舍去），

所以f（x）=log（1），定義域為（﹣∞，﹣1）（1，+∞）.

所以f（x）的增區間是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），無減區間.

（2）關于x的方程在[2，3]上有解，

即（x+k）在[2，3]上有解，

即x+k，得kx，

令g（x）x，x∈[2，3]，

則g（x）=1x在x∈[2，3]上單調遞減，且f（2）=1，f（3）=﹣1，

所以k的取值范圍是[﹣1，1].