Question

【題目】已知函數f（x）=x2+|x|﹣|x﹣5|+2．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若關于x的不等式|f（x）|≤m的整數解僅有11個，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x≤0時，f（x）=x2﹣x+x﹣5+2=x2﹣3，

由x2﹣3＜0解得﹣ ＜x＜ ，取﹣ ＜x≤0；

當0＜x＜5時，f（x）=x2+x+x﹣5+2=x2+2x﹣3，

由x2+2x﹣3＜0解得﹣3＜x＜1，取0＜x＜1；

當x≥5時，f（x）=x2+x﹣x+5+2=x2+7，

由x2+7＜0無解；

綜上，不等式f（x）＜0的解集為（﹣ ，1）

（2）解：由（1）知，f（x）= ，

畫出f（x）的圖象如圖所示；

若關于x的不等式|f（x）|≤m的整數解僅有11個，

當m=32時，由x2+7≤32，解得x≤5；

由x2﹣3≤32，解得﹣ ≤x，

滿足不等式|f（x）|≤m的整數解僅有11個；

當m=33時，由x2+7≤33，解得x≤ ；

由x2﹣3≤33，解得﹣6≤x，

滿足不等式|f（x）|≤m的整數解僅有12個；

不滿足題意；

當m=31時，由x2+7≤31，解得x≤ ；

由x2﹣3≤31，解得﹣ ≤x，

滿足不等式|f（x）|≤m的整數解僅有10個；

不滿足題意；

綜上，m的取值范圍是[32，33）．

【解析】（1）討論x的取值，去掉絕對值，化簡f（x），求出不等式f（x）＜0的解集；（2）由（1）寫出f（x）解析式，畫出f（x）的圖象，結合圖象，求出不等式|f（x）|≤m的整數解僅有11個時，求出m的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．