Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）求平面與平面所成的二面角大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）方法一: 取的中點，的中點，由勾股定理可得，，在三棱柱中易知平面，由于，由此平面，根據面面垂直的判定定理即可證明結果.

方法二：以為坐標原點建立空間坐標系，分析求出向量 的坐標，進而根據，結合線面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理即可得到平面平面平面．

（2）求出平面與平面的法向量坐標，代入向量夾角公式，求出平面與平面所成的二面角的余弦值，進而可以求出平面與平面所成的二面角．

（1）方法一：

證明：取的中點，的中點，連接

，.

E、F分別為AC1、AC的中點

，，

，，故四邊形是平行四邊形

.

在直三棱柱中，，

又且

平面.

由于.

平面平面

平面平面.

方法二：

證明：

，

由勾股定理知，，則如圖所示建立直角坐標系，坐標分別為：

分別是之中點.

故

，

平面，平面

平面平面

（2）設平面的法向量，且

令，

顯然平面的法向量為，平面的法向量

，故兩平面的夾角為.