Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當且時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，關于的方程有三個不同的實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）.

【解析】

（1）先求導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的零點情況對參數(shù)進行分類討論，研究導函數(shù)的正負區(qū)間，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與水平直線的交點個數(shù)問題，利用（1）的結(jié)論，研究函數(shù)的最值和圖象，進而得到參數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域是，

.

①當時，在上恒成立，在上恒成立，

的增區(qū)間為，的減區(qū)間為.

②當時，，

在和上恒成立，在上恒成立.

∴時，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為.

綜上所述，當時的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）若，，

關于的方程有三個不同的實根，等價于的圖象與直線有三個交點.

，

由解得或,由，解得.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，，

又∵當趨近于時趨近于，當在定義域內(nèi)趨近于0時，趨近于-，∴趨近于-，

∴的圖象與直線有三個交點時的取值范圍是.