Question

【題目】已知函數.

（1）求的單調區間；

（2）當時，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求導之后，通過對分子的二次函數的圖像進行討論，依次得到在不同范圍中時，導函數的符號，從而求得單調區間；（2）根據（1）中所求在不同范圍時的單調區間，得到的圖像，通過圖像找到恒成立所需條件，從而求得的取值范圍.

（1）

①當時，

令，解得，，且

當時，；當時，

所以，的單調遞增區間是，單調遞減區間是和；

②當時，

所以，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；

③當時，令，解得，，并且

當時，；當時，.

所以的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；

④當時，，所以的單調遞增區間是

⑤當時，令，解得，，且

當時，；當時，

所以，的單調遞減區間是，單調遞增區間是和

（2）由及（1）知，

①當時，，不恒成立，因此不合題意；

②當時，需滿足下列三個條件：

⑴極大值：，得

⑵極小值：

⑶當時，

當時，，，故

所以；

③當時，在單調遞增，

所以；

④當時，

極大值：

極小值：

由②中⑶知，解得

所以

綜上所述，的取值范圍是