Question

【題目】設函數 ．
（1）若曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線x﹣2=0垂直，求f（x）的單調區間（其中e為自然對數的底數）；
（2）若對任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，知x＞0，且 ，

因為曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線x=2垂直，所以f'（e）=0，

所以 ，得k=e，

所以 ，

令f'（x）＜0，得0＜x＜e，f（x）在（0，e）上單調遞減；

令f'（x）＞0，得x＞e，f（x）在（e，+∞）上單調遞增，

綜上，f（x）的單調減區間為（0，e），單調增區間為（e，+∞）．

（2）解：因為x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，

則有f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，對x1＞x2＞0恒成立，（7分）

令 ，則g（x）在（0，+∞）上單調遞減，

所以 在（0，+∞）上恒成立，

所以 恒成立，

令 ，則 ．

所以k的取值范圍是 ．

【解析】（1）求出函數的導數，結合切線方程求出k的值，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為 恒成立，根據函數的單調性求出k的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．