Question

（本小題滿分14分）如圖，設橢圓經過點且與雙曲線有相同的焦點，橢圓的左準線與軸交于點，為橢圓的長軸，分別為橢圓的左右焦點。（1）求橢圓的標準方程；

（2）求證：對于任意的割線，恒有．

（3）求:面積的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 見解析  （Ⅲ）

解析:

（1）∵，（…………1分）

∴，   又∵設橢圓經過點

   ∴（………3分）

   ∴， ∴橢圓的標準方程為．（……5分）

（2）設過點的直線方程的為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．（………7分）

則

  ，（…9分）

而

∴，又當直線的斜率為時也適合，從而．（……10分）

（3），（………………12分）

即：，

當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．

∴面積的最大值是．（………………………14分）