Question

【題目】在如圖所示的多面體中，底面四邊形是菱形，，，相交于，，在平面上的射影恰好是線段的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）證明線面垂直先證明線線垂直，EH⊥BD，AC⊥BD，∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF；（2）建立空間坐標系，求兩個平面的法向量，根據向量夾角的求法得到面面角.

解析：

（Ⅰ）取AO的中點H，連結EH，則EH⊥平面ABCD

∵BD在平面ABCD內，∴EH⊥BD

又菱形ABCD中，AC⊥BD 且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF內

∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H為原點，如圖所示建立空間直角坐標系H﹣xyz

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH為AE與平面ABCD所成的角，

即∠EAH=45°，又菱形ABCD的邊長為4，則

各點坐標分別為，

E（0，0，）

易知為平面ABCD的一個法向量，記=，=，=

∵EF∥AC，∴=

設平面DEF的一個法向量為（注意：此處可以用替代）

即 =，

令，則，∴

∴

平面DEF與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為．