Question

【題目】電腦每秒鐘以相同的概率輸出一個數字1或2.將輸出的前個數字之和被3整除的概率記為.證明：

（1）；

（2）.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

證法1 這個數字共有種可能情形.

設其中數字和被3整除的有種.則不被3整除的有種.

對于個數字的情形，若其和被3整除，則前個數字之和不被3整除；反之，對于前各數字之和不被3整除的每種情形，有唯一的第個數字可使前個數字之和被3整除.因此，.

這表明，概率滿足遞推關系式

.

證法2 若輸出的前個數字之和被3整除的概率為，則不被3整除的概率為.要使輸出的前個數字之和被3整除，則必須使前個數字之和不被3整除，且此時第個數字也隨之確定.

所以，由條件概率的公式得.

余下同證法1.

證法3 個數字共有種可能情形.

下面計算其和被3整除的種數，這等于多項式的展開式中等項的系數之和，即，①

其中，為三次單位根，是其共軛復數.

故式①.

因此，所求的概率為.

可驗證及.