Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）試求函數零點的個數，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求導得，分類討論當和時，利用導函數研究函數的單調性；

（2）根據題意，當時，，函數有且只有一個零點；當時，利用零點存在性定理，得出在上有且只有一個零點；當時，根據零點存在性定理和單調性討論零點個數，綜合即可得出結論.

解：（1），

當時，在上單調遞增，

當時，由，

得，

所以在單調遞增，在上單調遞減，

（2）時，，函數有且只有一個零點，

當時，因為，，

由根的存在定理可知，在上存在零點，

又因為在上單調遞增，

從而在上有且只有一個零點.

當時，由（1）可知存在最大值，

且，

①若，即時，函數無零點，

②若，即時，函數有且只有一個零點，

③若，即時，

因為，

所以在上存在零點，

由（1）可知在單調遞增，

所以在上有且只有一個零，

下面尋找，使得滿足，且，

先證明若，則，

令，，

所以函數在單調遞增，

所以，

所以，

所以當時，

，

令，解得，

取，

則，

又因為，

所以在存在零點，

由（1）可知在有且只有一個零點，

所以有且只有兩零點，

綜上，當或時函數有且只有一個零點，

當時，函數有且只有兩個零點，

當時，函數無零點.