Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，面面，為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得面？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）可作中點(diǎn)，連接，通過(guò)底面梯形的性質(zhì)可證四邊形為正方形，求出邊，，通過(guò)勾股定理可證，再結(jié)合面面，面面，可證面，得到，即可得證；

（2）可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，在底面找一點(diǎn)使得，即可求證；

（1）取中點(diǎn)，連接，

∵且，

∴且，

所以四邊形為平行四邊形，

又∵，，

所以四邊形為正方形.

在中，因?yàn)?/span>，所以，

在中，因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，，

因?yàn)?/span>面，面面，面面，

所以面，

因?yàn)?/span>面，

所以.

（2）線段上存在一點(diǎn)，滿足，

即為中點(diǎn)時(shí)，面，

證明如下：連結(jié)，∵為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，

又∵，所以，

∵面，面，∴面.