Question

在等差數列{a_n}中，公差為d，前n項和為S_n．在等比數列{b_n}中，公比為q，前n項和為S'_n（n∈N^*）．
（1）在等差數列{a_n}中，已知S₁₀=30，S₂₀=100，求S₃₀．
（2）在等差數列{a_n}中，根據要求完成下列表格，并對①、②式加以證明（其中m、m₁、m₂、n∈N^*）．

用Sm表示S2m	S2m=2Sm+m2d
用、表示	=______①
用Sm表示Snm	Snm=______②

（3）在下列各題中，任選一題進行解答，不必證明，解答正確得到相應的分數（若選做二題或更多題，則只批閱其中分值最高的一題，其余各題的解答，不管正確與否，一律視為無效，不予批閱）：
（ⅰ） 類比（2）中①式，在等比數列{b_n}中，寫出相應的結論．
（ⅱ） （解答本題，最多得5分）類比（2）中②式，在等比數列{b_n}中，寫出相應的結論．
（ⅲ） （解答本題，最多得6分）在等差數列{a_n}中，將（2）中的①推廣到一般情況．
（ⅳ） （解答本題，最多得6分）在等比數列{b_n}中，將（2）中的①推廣到一般情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S₁₀=30，S₂₀=100，得10a₁+45d=30，20a₁+190d=100，解得，，由此能求出S₃₀．
（2）①．證明：由，知=，由此得證．
②（或寫成S_nm=nS_m+C_n²m²d，n≥2）．證明：，，由此得證．
（3）（ⅰ）．
（ⅱ）．
（ⅲ） +m₂m_n）+…+m_n-1m_n]d，（n≥2）．（或寫成，（n≥2））．
（ⅳ），（n≥2）．
解答：解：（1）由S₁₀=30，S₂₀=100，得10a₁+45d=30，20a₁+190d=100，
解得，，…（2分）
故S₃₀=210．                                                     …（4分）
（2）①．                                   …（6分）
證明：∵，
∴
=
=．       …（8分）
②（或寫成S_nm=nS_m+C_n²m²d，n≥2）．       …（10分）
證明：∵，
∴
=
=．  …（12分）
（3）（ⅰ）．                                     …（16分）
（ⅱ）…（17分）
（ⅲ） +m₂m_n）+…+m_n-1m_n]d，（n≥2）．（或寫成，（n≥2））．                   …（18分）
（ⅳ），（n≥2）． …（18分）
點評：本題考查等差數列和等比數列的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．