Question

（2013•濟南二模）某企業計劃投資A，B兩個項目，根據市場分析，A，B兩個項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂，X₁和X₂的分布列分別為：

X1	5%	10%
P	0.8	0.2

X2	2%	8%	12%
P	0.2	0.5	0.3

（1）若在A，B兩個項目上各投資1000萬元，Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求利潤的期望E（Y₁），E（Y₂）和方差D（Y₁），D（Y₂）；
（2）由于資金限制，企業只能將x（0≤x≤1000）萬元投資A項目，1000-x萬元投資B項目，f（x）表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和．求f（x）的最小值，并指出x為何值時，f（x）取到最小值．

Answer 1

分析：（1）Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，根據兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂的分布列，可以得到Y₁和Y₂的分布列，得到分布列，余下的問題只是運算問題，分別求出變量的期望和方差．
（2）由題意知f（x）表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和，寫出用x表示的方差的解析式，結合二次函數的最值問題，得到結果．

解答：解：（1）由題設可知Y₁和Y₂的分布列為

Y1	50	100
P	0.8	0.2

Y2	20	80	120
P	0.2	0.5	0.3

--------------（2分）
E（Y₁）=50×0.8+100×0.2=60，----------------------------------（3分）
D（Y₁）=（50-60）²×0.8+（100-60）²×0.2=400，------------------------（4分）
E（Y₂）=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80，---------------------------------------（5分）
D（Y₂）=（20-80）²×0.2+（80-80）²×0.5+（120-80）²×0.3=1200．-------------------（6分）
（2）f(x)=D(

x

1000

Y1)+D(

1000-x

1000

Y2)=

1

106

[x2D(Y1)+(1000-x)2D(Y2)]
=

4

104

[x²+3（1000-x）²]=

4

104

（4x²-6000x+3×10⁶）．--------------------------------（10分）
當x=

6000

2×4

=750時，f（x）=300為最小值．-------------------------------（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．