Question

【題目】設a，b∈R，c∈[0，2π），若對任意實數x都有2sin（3x﹣ ）=asin（bx+c），定義在區間[0，3π]上的函數y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點個數是d個，則滿足條件的有序實數組（a，b，c，d）的組數為（ ）
A.7
B.11
C.14
D.28

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵對任意實數x都有2sin（3x﹣ ）=asin（bx+c），∴|a|=2，
若a=2，則方程等價于sin（3x﹣ ）=sin（bx+c），則函數的周期相同，若b=3，此時c= ；若b=﹣3，此時c= ；
若a=﹣2，則方程等價于sin（3x﹣ ）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，此時c= ；若b=3，此時c= ．
綜上，滿足條件的數組（a，b，c，）為（2，3， ），（2，﹣3， ），（﹣2，﹣3， ），（﹣2，3， ）共4組．
而當sin2x=cosx時，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx= ，∴x= 或x= 或x= ．
又∵x∈[0，3π]，∴x= ．
∴滿足條件的有序數組（a，b，c，d）共有4×7=28．
故選：D．