Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，己知橢圓C：的左、右頂點為A，B，右焦點為F.過點A且斜率為k（）的直線交橢圓C于另一點P.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若，求的值；

（3）設直線l:，延長AP交直線l于點Q，線段BO的中點為E，求證：點B關于直線EF的對稱點在直線PF上。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見解析

【解析】

（1）根據橢圓的方程，結合橢圓離心率的求法，即可求出結果；

（2）先由題意，得到直線AP的方程為代入橢圓方程，求出點P的坐標，表示出與，進而可得出結果；

（3）由直線AP的方程與直線l的方程聯立，求出，表示出直線EF的斜率，再由結合韋達定理，以及題中條件，表示出直線PF的斜率，再由題意，即可證明結論成立.

（1）因為橢圓C：，

所以，，.

又，所以，，

所以橢圓C的離心率.

（2）因為直線AP的斜率為，且過橢圓C的左頂點，

所以直線AP的方程為.

代入橢圓C的方程，

得，即，

解得或（舍去），

將代入，得，

所以點P的坐標為.

又橢圓C的右頂點B（2t,0），

所以，，

所以.

（3）直線AP的方程為，

將代入，得，所以.

因為E為線段BQ的中點，所以，

因為焦點F的坐標為（t,0），

所以直線EF的斜率.

聯立消y得，.

由于，，

所以，

所以點P的坐標為，

所以直線PF的斜率.

而直線EF的斜率為2k，

若設，則有，即，

所以點B關于直線EF的對稱點在直線PF上.