Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx（a∈R） （Ⅰ）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+2ax，若g（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由函數f（x）=ax2﹣（1+2a）x+lnx（a∈R，x＞0），

可得f′（x）=2ax﹣（2a+1）+ = =

①當a= 時，x＞0，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．函數f（x）的單調增區間是（0，+∞）；

②當a＞ 時，x∈（0， ），（1，+∞）時，f′（x）≥0，x 時，f′（x）≤0

∴此時f（x）的增區間為；（0， ），（1，+∞），減區間為：（ ）

③當0＜a＜ 時，x∈（0，1），（ ，+∞）時，f′（x）≥0，x∈（1， ）時，f′（x）≤0

∴此時f（x）的增區間為：（0，1），（ ，+∞），減區間為：（1， ）；

（Ⅱ）g（x）=f（x）+2ax=ax2﹣x+lnx，g′（x）=2ax﹣1+ =

∵g（x）有兩個極值點x1，x2，

∴x1，x2是方程2ax2﹣x+1=0（x＞0）的兩個不相等實根，

∴△=1﹣4a＞0，且x1+x2= ＞0，x1x2= ＞0，

由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），

由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），得（ax12﹣x1+lnx1）+（ax22﹣x2+lnx2）＜λ（x1+x2），

整理得：a（x12+ ）﹣（x1+x2）+ln（x1x2）＜λ（x1+x2），

將x1+x2= ＞0，x1x2= ＞0代入得上式得

因為0＜a ，所以λ＞﹣ ﹣2a﹣2aln2a

令h（a）=﹣ ，（0＜a ）

h′（x）=﹣2﹣2ln2a﹣2=﹣2（ln2a+2），令h′（a）=0，得a=

a 時，h′（a）＞0，a ），h′（a）＜0

∴h（a）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減．

∴ ．

∴ ．

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出g（x）的導數，求出x1+x2=a＞0，x1x2=a＞0，∴△=1﹣4a＞0，且x1+x2= ＞0，x1x2= ＞0，

由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），問題轉化為所以λ＞﹣ ﹣2a﹣2aln2a在（0， ）恒成立，根據函數的單調性求出λ的范圍即可．

【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．