Question

【題目】已知a，b，c∈（0，+∞）．

（1）若a=6，b=5，c=4是△ABC邊BC，CA，AB的長，證明：cosA∈Q；

（2）若a，b，c分別是△ABC邊BC，CA，AB的長，若a，b，c∈Q時，證明：cosA∈Q；

（3）若存在λ∈（-2，2）滿足c2=a2+b2+λab，證明：a，b，c可以是一個三角形的三邊長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）利用余弦定理求出cosA=0.125∈Q得證；（2）利用余弦定理得cosA=∈Q得證；（3）不妨假設不存在以a，b，c為三邊的三角形，即：a+b≤c，找到矛盾即得證.

證明：（1）∵a=6，b=5，c=4，

∴由余弦定理可得：cosA==0.125∈Q，得證；

（2）∵任意兩個有理數的和，差，積，商（除數不為0）仍是有理數，

∴a，b，c∈Q時，可得：cosA=∈Q；

（3）∵不妨假設不存在以a，b，c為三邊的三角形，即：a+b≤c，

∴兩邊平方，可得：a2+b2+2ab≤a2+b2+λab，

∴λ≥2，

∵λ∈（-2，2），矛盾，

故假設不成立，即存在以a，b，c為三邊的三角形．