Question

【題目】如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=a，AC=AD=b，BC=CD=DB=c（a＞0，b＞0，c＞0）該三棱錐的截面EFGH平行于AB、CD，分別交AD、AC、BC、BD于E、F、G、H．

（1）證明：AB⊥CD；

（2）求截面四邊形EFGH面積的最大值，并說明面積取最大值時截面的位置．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）截面為中截面時，截面四邊形EFGH面積的最大為，

【解析】

（1）要證AB⊥CD，需證CD⊥平面ABI，需證AI⊥CD，BI⊥CD，由已知可證；

（2）先證EFGH是矩形，再表示出SEFGH＝k（1﹣k）ac＝﹣ac（k）2，可求最值．

（1）取CD中點I，連結AI、BI，

∵AC＝AD，∴AI⊥CD，

∵BC＝BD，∴BI⊥CD，

又AI∩BI＝I，∴CD⊥平面ABI，

又ABABI，∴AB⊥CD；

（2）∵AB∥平面EFGH，AB平面ABC，

平面EFGH∩平面ABC＝FG，∴AB∥FG，

同理可證AB∥EH，∴FG∥EH，

同理可證EF∥HG，

∴EFGH是平行四邊形，

由（1）AB⊥CD知EF⊥EH，

∴EFGH是矩形，

設GF＝ka，則GH＝（1﹣k）c，

SEFGH＝k（1﹣k）ac＝﹣ac（k）2，

當k時，截面四邊形EFGH面積的最大為，

此時，截面為中截面．