Question

【題目】已知實數，定義域為的函數是偶函數，其中為自然對數的底數．

（Ⅰ）求實數值；

（Ⅱ）判斷該函數在上的單調性并用定義證明；

（Ⅲ）是否存在實數，使得對任意的，不等式恒成立．若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上遞增，證明詳見解析；（Ⅲ）不存在.

【解析】

（Ⅰ）根據函數是偶函數，得到恒成立，即恒成立，進而得到，即可求出結果；

（Ⅱ）任取，且，根據題意，作差得到，進而可得出函數單調性；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數在上遞增，由函數是偶函數，所以函數在上遞減，再由題意，不等式恒成立可化為恒成立，即對任意的恒成立，根據判別式小于0，即可得出結果.

（Ⅰ）因為定義域為的函數是偶函數，則恒成立，

即，故恒成立，

因為不可能恒為，所以當時， 恒成立，

而，所以．

（Ⅱ）該函數在上遞增，證明如下

設任意，且，則

，因為，所以，且；

所以，即，即；

故函數在上遞增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數在上遞增，而函數是偶函數，則函數在上遞減．若存在實數，使得對任意的，不等式恒成立．則恒成立，即，

即對任意的恒成立，

則，得到，故，

所以不存在．