Question

【題目】某工廠生產某種電子產品，每件產品不合格的概率均為，現工廠為提高產品聲譽，要求在交付用戶前每件產品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產品，且每 件產品檢驗合格與否相互獨立．若每件產品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢 驗方案：將產品每個一組進行分組檢驗，如果某一組產品檢驗合格，則說明該組內產品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內有不合格產品，再對該組內每一件產品單獨進行檢驗，如此，每一組產品只需檢驗次或次．設該工廠生產件該產品，記每件產品的平均檢驗次 數為．

（1）求的分布列及其期望；

（2）（i）試說明，當越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數越少；

（ii）當時，求使該方案最合理時的值及件該產品的平均檢驗次數．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）（i）見解析（ii）時平均檢驗次數最少，約為594次．

【解析】

（1）由題意可得，的可能取值為和，分別求出其概率即可求出分布列，進而可求出期望.

（2）（i）由記，根據函數的單調性即可證出；記，當且取最小值時，該方案最合理，對進行賦值即可求解.

（1）由題，的可能取值為 和

，故的分布列為

由記，因為，

所以 在上單調遞增 ，

故越小，越小，即所需平均檢驗次數越少，該方案越合理

記

當且取最小值時，該方案最合理，

因為，，

所以時平均檢驗次數最少，約為次．