Question

【題目】如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點和的直線與原點的距離為．

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點，若直線與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，使得以為直徑的圓過點．

【解析】

試題分析：（1）由兩點的坐標可得直線方程,根據點到線的距離公式可得間的關系式,再結合離心率及可解得的值．（2）將直線方程與橢圓方程聯立消去整理為關于的一元二次方程．根據有2個交點可知其判別式大于0得的范圍．由上式可得兩根之和,兩根之積．以為直徑的圓過點時,根據直線垂直斜率相乘等于可得的值．若滿足前邊判別式大于0得的的范圍說明存在,否則說明不存在．

試題解析：解：解析：（1）直線方程為：．

依題意 解得

∴ 橢圓方程為．

（2）假若存在這樣的值，由得．

∴ ①

設，、，，則 ②

而．

要使以為直徑的圓過點，當且僅當時，則，即

∴ ③

將②式代入③整理解得．經驗證，，使①成立．

綜上可知，存在，使得以為直徑的圓過點．