Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是棱長為2的正方形，側面PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分別為棱AB、PC的中點．

（1）求證：EF∥平面PAD．

（2）求三棱錐B-EFC的體積．

Answer 1

【答案】（）見解析；（）．

【解析】

（1）取PC的中點G，證明四邊形EFGA是平行四邊形，可得EF∥AG，證得EF∥平面PAD．
（2）取AD中點O，可證PO⊥底面ABCD，進而得到點F到面ABCD距離，利用等體積轉換，即可求三棱錐B-AEF的體積．

（1）證明：取PD中點G，連結GF、AG，

∵GF為△PDC的中位線，∴GF∥CD且，

又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，

又EF面PAD，AG面PAD，

∴EF∥面PAD；

（2）解：取AD中點O，連結PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，

又PC為面ABCD斜線，F為PC中點，∴F到面ABCD距離，

故.