Question

已知函數（a≠0且a≠1）．
（Ⅰ）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）已知當x＞0時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（Ⅲ）記（Ⅱ）中的函數的圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，令導函數大于0根據a的不同值求出x的范圍．
（2）令f'（）=0求出a即可得到答案．
（3）假設存在且設直線方程y=kx，根據點的對稱求出直線斜率即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）由題設知：．
①當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為；
②當0＜a＜1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0）及（0，+∞）；
③當a＞1時，函數f（x）的單調遞增區間為及．
（Ⅱ）由題設及（Ⅰ）中③知且a＞1，解得a=3，
因此，函數解析式為（x≠0）．
（Ⅲ）假設存在經過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x、y軸不是曲線C的對稱軸，
故可設l：y=kx（k≠0），設P（p，q）為曲線C上的任意一點，P'（p'，q'）與P（p，q）關于直線l對稱，且p≠p'，q≠q'，
則P'也在曲線C上，由此得，，且，，
整理得，解得或，
所以存在直線及為曲線C的對稱軸．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負的關系，即導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減．