Question

【題目】已知拋物線E∶y2＝2px(p>0)的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，MN⊥y軸于點N.若四邊形CMNF的面積等于7，則E的方程為(　　 )

A.y2＝xB.y2＝2x

C.y2＝4xD.y2＝8x

Answer 1

【答案】C

【解析】

聯立方程組求出各點的坐標，根據四邊形CMNF的面積等于，求得的值，即可得到拋物線的方程，得到答案．

由題意知F，則直線AB的方程為y＝x－.如圖，四邊形CMNF為梯形，且MN∥FC，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－2py－p2＝0，所以y1＋y2＝2p，

所以x1＋x2＝y1＋y2＋p＝3p，所以xM＝＝，yM＝＝p，

因為MC⊥AB，所以kMC＝－1，

所以直線MC的方程為y－p＝－，即y＝－x＋，所以xC＝，

所以四邊形CMNF的面積為(xM＋|FC|)·yM＝·p＝7，得p＝2，

所以拋物線E的方程為y2＝4x，

故選：C.