Question

已知銳角△ABC的三內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，邊a、b是方程x²-2

3

x+2=0的兩根，角A、B滿足關系2sin（A+B）-

3

=0，求角C的度數，邊c的長度及△ABC的面積．

Answer 1

分析：由已知等式求出sin（A+B）的值，根據三角形ABC為銳角三角形，確定出A+B及C的度數，再由a、b是方程x²-2

3

x+2=0的兩根，利用韋達定理求出a+b與ab的值，利用余弦定理列出關系式，將cosA值代入并利用完全平方公式化簡，把a+b與ab的值代入求出c的值，由ab與sinC的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：∵2sin（A+B）-

3

=0，
∴sin（A+B）=

3

2

，
∵△ABC為銳角三角形，
∴A+B=120°，即C=60°，
∵a、b是方程x²-2

3

x+2=0的兩根，
∴a+b=2

3

，ab=2，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=12-6=6，
∴c=

6

，S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．