Question

在下列四個命題中
①已知A、B、C、D是空間的任意四點，則

AB

+

BC

+

CD

+

DA

=

0

．
②若{

a

，

b

，

c

}為空間的一組基底，則{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}也構成空間的一組基底．
③|(

a

•

b

)|•

c

=|

a

|•|

b

|•|

c

|．
④對于空間的任意一點O和不共線的三點A、B、C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x，y，z∈R），則P、A、B、C四點共面．
其中正確的個數是（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

分析：①由向量的運算法則知正確
②兩邊平方，利用向量的平方等于向量模的平方，得出兩向量反向．
③向量共線的幾何意義知所在的線平行或重合．
④利用空間向量的基本定理知錯．

解答：解：易知只有①是正確的，
對于②，|③已知向量

a

，

b

，

c

是空間的一個基底，則向量

a

+

b

，

a

-

b

，

c

，也是空間的一個基底；因為三個向量非零不共線，正確．．
對于③

a

，

b

共線，則它們所在直線平行或重合
對于④，若O∉平面ABC，則

OA

、

OB

、

OC

不共面，由空間向量基本定理知，P可為空間任一點，所以P、A、B、C四點不一定共面．
故選C．

點評：本題考查向量的運算法則、向量模的平方等于向量的平方、向量的幾何意義、空間向量基本定理．