Question

【題目】在如圖所示的四棱錐中，底面為菱形，,為正三角形.

（1）證明:；

（2）若，四棱錐的體積為16，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）由正三角形的性質可得，，根據線面垂直的判定定理可得平面，由線面垂直的性質可得結論；（2）根據勾股定理，，結合可得，平面，設，利用棱錐的體積公式列方程解得，由勾股定理可得的長.

詳解：（1）證明：取中點為,連接

∵底面為菱形，,

∴為正三角形，

∴

又∵為正三角形，

∴

又∵平面,平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）法一：設，則，

在正三角形中，，同理，

∴，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面,

∴，

∴，

∵

∴

∴.

法二：設，則，

在正三角形中，，同理，

∴，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面,

∴，

∴，

連接,

∵在中，，

∴由余弦定理得，

∴在中，.