Question

【題目】已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，其中在第一象限，是橢圓上一點(diǎn).

（1）記、是橢圓的左右焦點(diǎn)，若直線過，當(dāng)到的距離與到直線的距離相等時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)關(guān)于軸對稱，當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線的方程；

（3）設(shè)直線和與軸分別交于，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）由題意可得焦點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的坐標(biāo)，設(shè)的坐標(biāo)，注意橫坐標(biāo)的范圍，在橢圓上，又到的距離與到直線的距離相等，可求出的橫坐標(biāo)；

（2），，個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系，可設(shè)一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，寫出其他兩點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出面積的表達(dá)式，根據(jù)均值不等式可求出橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，又在橢圓上，進(jìn)而求出具體的坐標(biāo)，再求直線 的方程；

（3）設(shè)，的坐標(biāo)，得出直線，的方程，進(jìn)而求出兩條直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，用，的坐標(biāo)表示，而，又在橢圓上，進(jìn)而求出結(jié)果．

（1）設(shè)，依題意得，，聯(lián)立橢圓方程：，把代入得：

，；

又因?yàn)?/span>，代入得：；

（2）設(shè)，則，則，

又因?yàn)?/span>在橢圓上，

所以，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，即，則，所以；

（3）設(shè)，

則，

則，又因?yàn)?/span>，代入得：，故為定值.