Question

【題目】已知直線與拋物線交于，兩點，點為拋物線的焦點且.

（1）求的值；

（2）過點作不垂直于軸的直線與拋物線交于，兩點，問：在軸上是否存在一點，使得軸總是平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；點.

【解析】

（1）聯立和，設，，根據韋達定理得到兩根之和與兩根之積，表示出，代入可解.

（2）先討論直線斜率不存在的情況，此時顯然存在這樣的點；直線斜率存在時，設出直線方程，聯立拋物線方程，由韋達定理表示，兩點的坐標，再由軸總是平分，得到，表示出代入上式即可求解.

解：（1）根據條件可得點的坐標為.

由可得.

設，，則，.

根據點，在拋物線上可得.

則，

∴.

（2）由（1）可知拋物線的方程為.

當直線的斜率不存在時，軸上的除外的任一點均滿足使軸平分.

當斜率存在時，由題可設直線的方程為，，.

聯立消去得，

∴，.

假設在軸上存在一點，使得軸平分，則，

∴，∴.

又，，∴.

把（*）式代入上式化簡得，∴，

∴點.

綜上可知，在軸上存在一點，使得軸總是平分.