Question

【題目】設拋物線的焦點為，的準線與軸的交點為，點是上的動點．當是等腰直角三角形時，其面積為2．

（1）求的方程；

（2）延長AF交C于點B，點M是C的準線上的一點，設直線，，的斜率分別是，證明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據拋物線的準線方程和焦點坐標，結合勾股定義以及三角形面積，即可求得，則拋物線方程可求；

（2）設出直線方程，聯立拋物線方程，得到關于的一元二次方程，將斜率之和表示出來，結合韋達定理，即可證明.

（1）依題意可知，當是等腰直角三角形時：

若時，根據拋物線定義，顯然不成立；

若時，顯然也不成立.

故.

∵拋物線方程為，

∴焦點，，

∴的面積，解得，

∴拋物線的方程為

（2）證明：由（1）知，

設直線的方程：代入得:，

設，所以

設，則：，，

∵，∴

∴

∴.