Question

(16分)已知：數列，中，=0，=1，且當時，，，成等差數列，，，成等比數列.

（1）求數列，的通項公式；

（2）求最小自然數，使得當≥時，對任意實數，不等式≥恒成立；

（3）設 （∈），求證：當≥2都有＞2.

Answer 1

 解析：(1) ∵當∈時，，，成等差數列，，，成等比數列.

∴2=+, =.         ………………………………………2分

又∵，，∴≥0，≥0 , 且,

∴（≥２）,………………………………………………4分

∴數列是等差數列，又,∴,也適合.

∴， .   ………………………………………………………6分

(2) 將，代入不等式≥   （）

整理得：≥0  ………………………………………………8分

令，則是關于的一次函數，

由題意可得    ∴  ，解得≤1或≥3. 

∴存在最小自然數，使得當≥時，不等式（）恒成立．…………………10分

(3) 由(1)得：…＋.∴，（≥2），

∴              …………………………………………………12分

由（）+（）+…＋（）

…＋）…＋，

即：…＋）…＋  ……………………14分

∵…＋＜…＋

=…＋

=＜1

∴當n≥2時，＞2（…＋）． ……………………………………16分