Question

【題目】已知點A（1，）是離心率為的橢圓C：（a＞b＞0）上的一點，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點，且A、B、D三點不重合

（1）求橢圓C的方程；

（2）求證：直線AB，AD的斜率之和為定值

（3）△ABD面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析（3）存在，最大值為．

【解析】

（1）由已知解方程組即可；

（2）設出直線BD的方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理解決；

（3）將△ABD面積表示成，再利用基本不等式求得最值.

（1）∵點A（1，）是離心率為的橢圓C：（a＞b＞0）上的一點，

∴，解得a＝2，，，

∴橢圓C的方程為．

（2）證明：設D（x1，y1），B（x2，y2），

設直線BD的方程為，

直線AB、AD的斜率分別為：kAB、kAD，

則kAD+kAB

，（*）

聯立，

∴△＝﹣8t2+64＞0，解得﹣2t＜2，，﹣﹣﹣﹣①，②，

將①、②式代入*式整理得0，

∴kAD+kAB＝0，∴直線AB，AD的斜率之和為定值．

（3）|BD||x1﹣x2|，

設d為點A到直線BD：的距離，∴，

∴，

當且僅當t＝±2時取等號，

∵±2，∴當t＝±2時，△ABD的面積最大，最大值為．