Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，且在橢圓上運動，當點恰好在直線l:上時，的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）作與平行的直線，與橢圓交于兩點，且線段的中點為，若的斜率分別為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據點在橢圓上運動，當點恰好在直線l:上時，的面積為，直線與橢圓方程聯立，解得點的坐標，則有，再由求解.

（2）設直線的方程為.由可得，由韋達定理，求得點M的橫縱坐標，，建立模型，由，得到，或.然后用函數法求范圍.

（1）由可得，.

根據對稱性，不妨設點在第一象限，則點的坐標為，

設橢圓的焦距為2c，由條件可得，

即，

由橢圓的離心率可得，

所以，，

所以，，

，解得，故.

故橢圓的方程為

（2）設直線的方程為.

由可得，

，即，

所以，，或.

設，

則.

則，.

則，

.

當時，，且在和上的取值范圍相同，

故只需求在上的取值范圍.

而在和上隨的增大而增大.

的取值范圍是.