Question

【題目】已知離心率為的橢圓，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為1的直線經(jīng)過且與橢圓交于兩點(diǎn)．

（1）求面積；

（2）動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，且與直線，分別交于兩點(diǎn)，且為橢圓的右焦點(diǎn)，證明為定值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由得出（0,1），結(jié)合橢圓離心率，解得，即可得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得出直線方，聯(lián)立求出交點(diǎn)和的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出和點(diǎn)到直線的距離求出，即可得出的面積.

（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程，得，根據(jù)，求得，從而求得坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離求出和，即可求得，

解：（1）由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（0,1），

，解得，

橢圓方程為，

直線的方程為，

聯(lián)立，整理得，

解得，，

則（0,1），，

,

原點(diǎn)到直線的距離，

.

所以面積為.

（2）由題可知，直線斜率存在，設(shè)直線方程為，

聯(lián)立，整理得，

直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

，

整理得，

由題可得，，，

=.

所以為定值.