Question

【題目】已知為橢圓上兩點，過點且斜率為的兩條直線與橢圓的交點分別為.

（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）若四邊形為平行四邊形，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），離心率；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題列a,b方程組，即可求解橢圓方程，再由a,b,c關系，求解離心率；（Ⅱ）設直線的方程為，與橢圓聯立消去y,得x的方程，求點B坐標，同理求點C坐標，進而得再由，得k方程求解即可

（I）由題意得解得

所以橢圓的方程為.

又，

所以離心率.

（II）設直線的方程為，

由消去，整理得.

當時，設，

則，即.

將代入，整理得，所以.

所以.所以.

同理.

所以直線的斜率.

又直線的斜率，所以.

因為四邊形為平行四邊形，所以.

所以，解得或.

時，與重合，不符合題意，舍去.

所以四邊形為平行四邊形時，.