Question

【題目】設拋物線的方程為，其中常數，是拋物線的焦點.

（1）若直線被拋物線所截得的弦長為6，求的值；

（2）設是點關于頂點的對稱點，是拋物線上的動點，求的最大值；

（3）設，、是兩條互相垂直，且均經過點的直線，與拋物線交于點、，與拋物線交于點、，若點滿足，求點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）當時，代入拋物線方程，求得，可得弦長，解方程可得；

（2）求得的坐標，設出過的直線為，，聯立拋物線方程，若要使取到最大值，則直線和拋物線相切，運用判別式為0，求得傾斜角，可得所求最大值；

（3）求得，設，，，，，，，，，設，聯立拋物線方程，運用韋達定理和兩直線垂直斜率之積為-1的條件，結合向量的坐標表示，和消元法，可求得軌跡方程

（1）由可得，可得，解得；

（2）是點，關于頂點的對稱點，可得，，

設過的直線為，，

聯立拋物線方程可得，

由直線和拋物線相切可得△，解得，

可取，可得切線的傾斜角為，

由拋物線的定義可得，而的最小值為，

的最大值為；

（3）由，可得，設，，，，，，，，，

設，聯立拋物線，可得，

即有，，

由兩直線垂直的條件，可將換為，可得

，，

點滿足，

可得，，，

即為①，

②，

聯立①②式消元可得，

則的軌跡方程為