Question

【題目】已知分別是橢圓的左焦點和右焦點，橢圓的離心率為是橢圓上兩點，點滿足.

(1)求的方程；

(2)若點在圓上，點為坐標原點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據焦點坐標和離心率，結合橢圓中的關系，即可求得的值，進而得橢圓的標準方程.

（2）設出直線的方程為，由題意可知為中點.聯立直線與橢圓方程，由韋達定理表示出，由判別式可得；由平面向量的線性運算及數量積定義，化簡可得，代入弦長公式化簡；由中點坐標公式可得點的坐標，代入圓的方程，化簡可得，代入數量積公式并化簡，由換元法令，代入可得，再令及，結合函數單調性即可確定的取值范圍，即確定的取值范圍，因而可得的取值范圍.

（1）分別是橢圓的左焦點和右焦點，

則，橢圓的離心率為

則解得，

所以，

所以的方程為.

（2）設直線的方程為，點滿足，則為中點，點在圓上，設，

聯立直線與橢圓方程，化簡可得，

所以

則，化簡可得，

而

由弦長公式代入可得

為中點，則

點在圓上，代入化簡可得，

所以

令，則，，

令，則

令，則，

所以，

因為在內單調遞增，所以，

即

所以