Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，過其右焦點與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限交于點，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為，，點是橢圓上的動點，且點與點，不重合，直線，與直線分別交于點，，求證：以線段為直徑的圓過定點，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）將代入橢圓方程求出點縱坐標，得到，且等于，再由離心率和關系，即可求解；

（Ⅱ）設點，求出線，的斜率，，由點的橢圓上，得到為定值，分別求出坐標，證明即可.

（Ⅰ）代入橢圓方程得，

由，得，

又因為且，

得，，，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設點，

則得，

又設直線，的斜率分別為，，

則，，

所以，

∴直線：，直線：，

所以點，，

由，

所以以線段為直徑的圓過定點，

同理，以線段為直徑的圓過定點.