Question

若存在實常數k和b,使得函數f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數x分別滿足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l:y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知h(x)=x²,φ(x)=2elnx(其中e為自然對數的底數).

(1)求F(x)=h(x)-φ(x)的極值;

(2)函數h(x)和φ(x)是否存在隔離直線？若存在,求出此隔離直線方程;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)∵F(x)=h(x)-φ(x)=x²-2elnx(x＞0),

∴F′(x)=2x=.

當x=e時,F′(x)=0.

∵當0＜x＜時,F′(x)＜0,此時函數F(x)遞減;

當x＞時,F′(x)＞0,此時函數F(x)遞增;

∴當x=時,F(x)取極小值,其極小值為0.

(2)由(1)可知函數h(x)和φ(x)的圖象在x=處有公共點,因此若存在h(x)和φ(x)的隔離直線,則該直線過這個公共點.

設隔離直線的斜率為k,則直線方程為y-e=k(x-),

即y=kx+e-k.

由h(x)≥kx+e-k(x∈R),可得x²-kx-e+k≥0當x∈R時恒成立.

∵Δ=(k-2)²,

∴由Δ≤0,得k=2.

下面證明φ(x)≤2x-e當x＞0時恒成立.

令G(x)=φ(x)-2x+e=2elnx-2x+e,則

G′(x)=-2,

當x=時,G′(x)=0.

∵當0＜x＜時,G′(x)＞0,此時函數G(x)遞增;

當x＞e時,G′(x)＜0,此時函數G(x)遞減;

∴當x=時,G(x)取極大值,其極大值為0.

從而G(x)=2elnx-2x+e≤0,

即φ(x)≤2x-e(x＞0)恒成立.

∴函數h(x)和φ(x)存在唯一的隔離直線y=2x-e.