Question

【題目】已知函數f(x)＝aln x＋ (a∈R)．

(1)當a＝1時，求f(x)在x∈[1，＋∞)內的最小值；

(2)若f(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；

(3)求證ln(n＋1)> ＋＋＋…＋ (n∈N*)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)當a＝1時，f(x)＝ln x＋，定義域為(0，＋∞)．

因為f′(x)＝－＝>0，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數，所以f(x)在x∈[1，＋∞)內的最小值為f(1)＝1.

(2)f′(x)＝－＝，因為f(x)存在單調遞減區間，所以f′(x)<0有正數解，即ax2＋2(a－1)x＋a<0有正數解．

①當a＝0時，明顯成立．

②當a<0時，h(x)＝ax2＋2(a－1)x＋a是開口向下的拋物線，所以ax2＋2(a－1)x＋a<0有正數解．

③當a>0時，h(x)＝ax2＋2(a－1)x＋a是開口向上的拋物線，即方程ax2＋2(a－1)x＋a＝0有正根．

因為x1x2＝1>0，所以方程ax2＋2(a－1)x＋a＝0有兩正根，

所以解得0<a<.

綜合①②③知，a<.

(3)證明：當n＝1時，ln(n＋1)＝ln 2，

∵3ln 2＝ln 8>1，∴ln 2>，即當n＝1時，不等式成立．

設當n＝k時，ln(k＋1)> ＋＋…＋成立．

當n＝k＋1時，ln(n＋1)＝ln(k＋2)＝ln(k＋1)＋ln>＋＋…＋＋ln.

根據(1)的結論可知，當x>1時，ln x＋>1，即ln x>.

令x＝，所以ln>，則有ln(k＋2)> ＋＋…＋＋，即當n＝k＋1時，不等式也成立．

綜上可知不等式成立．