Question

已知A是拋物線y²=2x上的一動點，過A作圓（x-1）²+y²=1的兩條切線分別切圓于E、F兩點，交y軸于B、C兩點．
（1）當A點的坐標為（8，4）時，求直線EF的方程．
（2）當A點的橫坐標大于2時，求△ABC的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）圓：（x-1）²+y²=1的圓心C（1，0），所以以AC為直徑的圓為：x²+y²-9x-4y+8=0，結合題意證明點E、F在圓x²+y²-9x-4y+8=0上，所以E、F兩點是兩個圓的交點，兩個圓的方程相減即可得到直線EF的方程．
（2）設B（0，y_B），C（0，y_C），A（x_O，y_O），其中x₀＞2，寫出直線AB的方程為（y_O-y_B）x-x_Oy+x_Oy_B=0，由直線AB與圓相切可得（x_O-2）y_B²+2y_Oy_B-x_O=0，同理：（x_O-2）y_A²+2y_Oy_A-x_O=0，故y_A，y_B是方程（x_O-2）y²+2y_Oy-x_O=0的兩個不同的實根，因為S=

1

2

|yA-yB|xO，再結合韋達定理即可求出三角形的最小值．

解答：解：（1）由題意可得：圓：（x-1）²+y²=1的圓心C（1，0），
所以以線段AC為直徑的圓的方程為：x²+y²-9x-4y+8=0．
因為AE⊥CE，AF⊥CF，
所以點E、F在圓x²+y²-9x-4y+8=0上，
所以E、F兩點是兩個圓的交點．
所以所求圓的方程與圓：（x-1）²+y²=1相減，消去二次項，就得公共弦EF所在的直線方程，
所以直線EF的方程為7x+4y-8=0．
（2）設B（0，y_B），C（0，y_C），A（x_O，y_O），其中x₀＞2，
所以直線AB的方程為y=

yO-yB

xO

x+yB，化簡得（y_O-y_B）x-x_Oy+x_Oy_B=0
直線AB與圓相切，故

|yO-yB+xOyB|

(yO-yB)2+x02

=1，兩邊平方化簡得（x_O-2）y_B²+2y_Oy_B-x_O=0
同理可得：（x_O-2）y_A²+2y_Oy_A-x_O=0，
故y_C，y_B是方程（x_O-2）y²+2y_Oy-x_O=0的兩個不同的實根，yC+yB=

2yO

2-xO

，yC•yB=

xO

2-xO

因為S=

1

2

|yC-yB|xO
所以S=

1

2

(yC-yB)2

xO=

xO2

xO-2

=(xO-2)+

4

xO-2

+4≥8，
所以當且僅當x_O=4時，S取到最小值8，
所以△ABC的面積的最小值為8．

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，以及圓與圓的位置關系，而解決直線與圓錐曲線的位置關系有關的問題，一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯立，利用韋達定理來找突破口．