Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，試討論方程的解的個數；

（2）若曲線和上分別存在點，，使得是以原點為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在軸上，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求出導函數，由導函數確定函數的單調性，作出函數的大致圖象，通過圖象確定方程解的個數；

（2）設，，由，，，題意說明，代入得，化簡后有，從而，只要求得（）的值域即得的范圍．

（1）當，，；

又的定義域為；

當時，恒成立.

所以，在上單調遞減，在也單調遞減，圖象如圖所示.

因此，當即時，方程無解；

當即時，方程有唯一解.

（2）設，，，，

則，，∴.

，，

由題意，，即

，

∴，

∵，

∴，

則.

設，則，

∵，

∴，

即函數在上為增函數，

則，

即.

∴實數的取值范圍是.