Question

（2009•濱州一模）設函數f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx，g（x）=x²，
（I）若直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象相切于點（1，0），求實數p的值；
（II）若f（x）在其定義域內為單調函數，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）分別求出f（x），g（x）的導數，利用直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，求出它們導數之間的關系．
（II）f（x）在其定義域內為單調函數，則說明導數f'（x）＞0，或f'（x）＜0，恒成立．

解答：解：（Ⅰ）方法一：∵f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

，∴f'（1）=2p-2．
設直線，并設l與g（x）=x²相切于點M（x₀，y₀）
∵g'（x）=2x，∴2x₀=2p-2，解得
∴x0=p-1，y0=(p-1)2，
代入直線l方程解得p=1或p=3．
方法二：將直線方程l代入y=x²得2（p-1）（x-1）=0，
∴△=4（p-1）²-8（p-1）=0，
解得p=1或p=3．
（Ⅱ）∵f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．．
①要使f（x）為單調增函數，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）恒成立，即p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）恒成立，
又

2

x+ 1 x

≤1，所以當p≥1，此時f（x）在（0，+∞）為單調增函數；   
②要使f（x）為單調減函數，須f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立，即p≤

2x

x2+1

，（0，+∞）恒成立，又

2x

x2+1

≥0，所以p≤0．當p≤0時，f（x）在（0，+∞）為單調減函數．
綜上，若f（x）在（0，+∞）為單調函數，則p的取值范圍為p≥1或p≤0．

點評：本題考查導數的應用，要正確理解函數單調性與導數之間的關系．當函數函數單調遞增時，得f'（x）≥0，不能漏掉等號．