Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中AD∥BC，DA⊥AB，AD＝2，AB＝BC＝1，CD，點E為PD中點.

（1）求證：CE∥平面PAB；

（2）若PA＝2，PD＝2，∠PAB，求平面PBD與平面ECD所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取AP的中點F，連接EF，FB，證明平行四邊形EFBC，得到證明.

（2）以A為原點，以AP為x軸，過A垂直于AP的直線為y軸，以AD為z軸建立空間直角坐標系，平面PBD的法向量為，平面ECD的法向量為，計算夾角得到答案.

（1）取AP的中點F，連接EF，FB，則EF∥AD，且EF，

由AD∥BC，且BC，故EF∥BC，且EF＝BC，

故平行四邊形EFBC，由EC平面PAB，BF平面PAB，

故EC∥平面PAB；

（2）PA＝2，PD＝2，AD＝2，所以AD⊥AP，由DA⊥AB，易知AD⊥平面PAB，

以A為原點，以AP為x軸，過A垂直于AP的直線為y軸，以AD為z軸建立空間直角坐標系，

P（2，0，0），B（，0），D（0，0，2），C（），E（1，0，1），

設平面PBD的法向量為，，

由，得，

設平面ECD的法向量為，，，

由，得，

由cos，

故平面PBD與平面ECD所成銳二面角的余弦值為.